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Dalla filosofia greca, abbiamo una definizione di infinito originata dalla negazione del finito (a-peion in greco, in-finitum in latino). Lo stesso Aristotele affermava che “Il numero è infinito in potenza, ma non in atto…”. Il rifiuto da parte dei greci per l’infinito in atto nasce dal fatto che i greci ritenevano conoscibile solo ciò che è determinato, finito, ma si accetta l'infinito potenziale solo come possibilità di procedere sempre oltre, ottenendo quantità sempre maggiori ma finite.

 

Tutti i grandi matematici di quel tempo, da Euclide a Pitagora, rifiutarono ovviamente l'infinito attuale, ritenendo lecita solo la concezione dell'infinito come divenire. Su diversi fronti della matematica, tuttavia, questa concezione dell'infinito entrò in crisi, creando i presupposti per il superamento del “finito” che sarebbe iniziato a partire dai primi decenni del Seicento a causa di Galileo Galilei.

 

Galilei, fu il primo a mettere in discussione l’idea di infinito che fu sviluppata dai greci. Tuttavia si trovò innanzi a numerosi paradossi tra i quali si trovano il paradosso dei quadrati e il paradosso delle ruote.

 

Paradosso dei Quadrati
I quadrati sono solo una parte dei numeri naturali. E' però possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra N e l'insieme dei quadrati, cioè una corrispondenza nella quale ad ogni numero naturale corrisponde uno ed un solo quadrato
 
 

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I quadrati sono perciò tanti quanti i numeri naturali e ciò significa che una parte può essere "uguale" al tutto.

 

Paradosso delle Ruote
”Due ruote concentriche, tali che la più grande rotoli sopra una retta, toccano con i loro punti due segmenti di uguale lunghezza”

Facendo fare un giro completo alla circonferenza più grande fino a D, la più piccola arriverà al punto B. Ma CD = AB. Ora com’è possibile che una ruota percorra in una rotazione, senza saltare, più di quanto sia lunga la circonferenza? Anche in questo caso ciò è dovuto alla possibilità di costruire una corrispondenza biunivoca tra la circonferenza più grande e quella più piccola: basterà infatti proiettare dal comune centro i punti della circonferenza più piccola su quelli della più grande. Il paradosso sta dunque nella possibilità di stabilire una corrispondenza biunivoca tra un segmento continuo e una sua parte propria.

 

Galileo non riuscì a trovare una soluzione ai suoi paradossi e questo fatto lo portò a negare, come matematico, la possibilità di indagare l'infinito: quando "siamo tra gl'infiniti e gl'indivisibili, quelli [gl'infiniti] sono incomprensibili dal nostro intelletto finito per la loro grandezza, e questi [gl'indivisibili] per la loro piccolezza"; tuttavia Galileo, come filosofo, si permise di fare delle congetture "arbitrarie e non necessarie" sulla natura dell'infinito e questo è il suo più grande merito.

 

Occorre la definizione di equipotenza tra insiemi per risolvere i paradossi che fermarono Galilei.

“Chiamiamo equipotenti due insiemi M e N, se è possibile porli in una relazione tale che ad ogni elemento di uno di essi corrisponda un elemento e uno soltanto dell'altro".

Estendendo la definizione agli insiemi infiniti accade che una parte può essere uguale al tutto dove per uguale si intende equipotente nel senso della definizione di Cantor sopra riportata, cioè uguale per numero. E' possibile perciò che una parte sia uguale per numero al tutto, ma solo nel caso che gli insiemi siano infiniti: questa è infatti una caratteristica degli insiemi infiniti.

 

“Un insieme S si chiama infinito se è equipotente ad una sua parte propria; nel caso opposto si chiama finito. “

Questa definizione apparsa nel quinto paragrafo del libro "Il finito e l'infinito" di Dedekind, capovolge un modo di pensare millenario: si era sempre definito l'infinito a partire dal finito, come non-finito; ora invece è il finito ad essere non-infinito, e conduce alla costruzione di nuovi paradossi.

Paradosso del Cubo
Un cubo di lato unitario ha tanti punti quanti un suo lato.

A ogni punto del cubo P possiamo associare una terna di numeri (x,y,z) compresi tra 0 e 1.
essi possono essere:

x= 0, a1, a2, a3, …     y= 0, b1, b2, b3, …     z= 0, c1, c2, c3, …

Ad essi può essere associato il punto t =0,a1b1c1a2b2c2a3b3c3...

anche esso compreso tra 0 e1. Viceversa al punto

t = 0,t1t2t3t4t5t6...

si può far corrispondere il punto del cubo di coordinate

x = 0,t1t4...      y = 0,t2t5...      z = 0,t3t6...

ed anche in questo caso si è costruita una corrispondenza biunivoca tra tutto il cubo ed un suo lato.

 

Conseguenza sorprendente di questa affermazione è che la dimensionalità non costituisce un criterio per stabilire la potenza di un insieme (infatti segmento, quadrato, cubo, spazio sono tutti equipotenti).

 

Dall'infinito agli Aleph Teorema di Cantor
Ipotesi del Continuo Oltre aleph uno