Matematica Italiano Scienze della Terra Bibliografia

Dato un insieme A qualsiasi, linsieme delle parti di A ha cardinalit maggiore di quella di A 

Ipotesi

A= {a, a1, a2, , an,} 

 

Tesi

#P(A)>#A 

 

Dimostrazione 

Sia A= N e P(A) linsieme dei sottoinsiemi di N. Si suppone, per assurdo, che esista una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di N e i sottoinsiemi di N. Si costruisce una tabella nelle cui colonne sono inseriti i numeri naturali e nelle righe i sottoinsiemi corrispondenti. In ogni cella nella quale il numero della colonna era incluso nel sottoinsieme della riga si scrive s e un no qualora la condizione non sia verificata. Si considera la diagonale principale della tabella e, aggiungendo una nuova riga, si inseriscono in essa  le risposte invertite, se il termine della diagonale s, si scrive no e viceversa. Cosi facendo si ottiene un nuovo sottoinsieme, che si distingue dal primo per il primo elemento, dal secondo per il secondo elemento e cosi via.

Questo nuovo sottoinsieme non corrispondente di nessun numero naturale.

 

N

1

2

3

4

Sottoinsiemi

Pari

No

Si

No

Si

 

Dispari

Si

No

Si

No

 

Primi

No

Si

Si

No

 

Multipli di 3

No

No

Si

No

 

 

Nuovo

Si

Si

No

Si

 

 

Dal punto di vista logico, Cantor oper in questo modo.

 

Ipotesi f: A → P(A)

Tesi:  yP(A):xA:y f(x) (cio la f non suriettiva)

 

Dimostrazione

 

B={zA: zf(z)}sottoinsieme di A

Consideriamo la funzione come se fosse suriettiva.

Bf= {w}

wA: f(w)B

 

wB

wf(w)

Per la definizione di B

wB

contraddizione

wB

wf(w)

Per la definizione di B

wB

contraddizione

 

In entrambi i casi siamo davanti a una contraddizione, la funzione non suriettiva e la tesi verificata.

 

Quindi gli insiemi infiniti anche se per definizione sono equipotenti a ciascuno dei propri sottoinsiemi non sono equipotenti al proprio insieme delle parti.


Linsieme infinito dei numeri interi positivi N il primo livello di infinito, definito da Cantor aleph-zero, o Infinito Numerabile.

 

Il secondo livello di infinito, quello dei numeri reali o dei punti di un segmento, che non equipotente ad aleph-zero, ma di ordine superiore: lInfinito Continuo, o aleph-uno.

Dall'infinito agli Aleph Teorema di Cantor
Ipotesi del Continuo Oltre aleph uno